As equações básicas das quatro curvas (todos são tipos das equações diferenciais dN/dt ):

DD_boa = rN(1-N/ K_boa)                                                
DD_ruim = rN(1-N/ K_ruim)
ID_forte = R_forteN
ID_fraca = R_fracaN

Onde as primeiras duas são simplesmente a equações logísticas – com um subscrito em K.  Lembre do gráfico do logístico dN/dt contra N i   uma curve.  As últimas duas equações são lineares (o intercepto de Y  0, á tangente é R_i, onde i  ´pode ter um efeito Forte, ou um efeito Fraco).  Podemos considerar R_i como a proporção de indivíduos retirados  pelo fator da ID  (esse fator da ID pode ser coleta, mortalidade devido ao clima, ou outra causa).  As quatro equações produzem as quatro curvas azuis ou vermelhas dos dois gráficos anteriores.  Lembre,  DD adiciona indivíduos, e ID retira indivíduos. 

As quatro curvas resultam em quatro valores de N onde as curvas de DD e ID intersectem – os pontos de equilíbrio.  Usáramos o símbolo "&" para representar a interseção. ID_forte & DD_ruin , por exemplo, implica a interseção da linha de ID_forte e a curva de DD_bom.  Podemos resolver para  N na interseção dos pontos de equilíbrio ao formatar pares de equações iguais entre elas.  Os valores de N na interseção são:

a = ID_forte  & DD_bom = K_bon [1- (R_forte / r)]                          
b = ID_forte & DD_bom = K_bom [1- (R_forte / r)]
c = ID_fraca & DD_bom = K_bom [1- (R_fraca / r)]
d = ID_fraca &  DD_bom = K_bom [1- (R_fraca / r)]

Por que b e c importam (usando a como o ponto de referencia

ID domina: If b <  c então a a b (mudando DD e mantendo ID constante) é menor do que a a c (mudando ID e mantendo DD constante)
Distancia pequena (a a b) implica que o efeito da mudança de DD é pequeno -- ID domina.
Distancia grande (a a c) implica que o efeito da mudança de ID é grande -- ID domina

DD domina: Se b >  c então a a b (mudando DD e mantendo ID constante) é mais comprido do que a a c (mudando ID e mantendo DD constante)
  Distancia a a b grande implica que o efeito da mudança de DD é grande -- DD domina.
Distancia a á c  pequena implica que o efeito da mudança de ID é pequeno -- DD domina

Questão:  Se obtemos um "veredicto" das distancias {a á c} e {a a b}, esses automaticamente implica  o veredicto das distancias {b a d} e {c a d}?

Voltamos à idéia do uso das diferencias entre as interseções ID e DD (a mudança nos valores de equilíbrio ao mudar as condições) para decide qual domina.

O que significa a ordem de b e c?

As interações de "trocar" são b e c.  Sua magnitude relativa determina determine se DD ou ID domina.
[Observe que a é sempre menor do que b, e c é sempre menor do que d, mas o ordem de b e c pode variar].  Lembre que cada um desses é um ponto de equilíbrio sob uma combinação de condições. 

 Por que b e c importam usando a como o ponto de referencia

ID domina: If b <  c então a a b (mudando DD e mantendo ID constante) é menor do que a a c (mudando ID e mantendo DD constante)
Distancia pequena (a a b) implica que o efeito da mudança de DD é pequeno -- ID domina.
Distancia grande (a a c) implica que o efeito da mudança de ID é grande -- ID domina

DD domina: Se b >  c então a a b (mudando DD e mantendo ID constante) é mais comprido do que a a c (mudando ID e mantendo DD constante)
  Distancia a a b grande implica que o efeito da mudança de DD é grande -- DD domina.
Distancia a á c  pequena implica que o efeito da mudança de ID é pequeno -- DD domina

Questão:  Se obtemos um "veredicto" das distancias {a á c} e {a a b}, esses automaticamente implica  o veredicto das distancias {b a d} e {c a d}?

Voltamos à idéia do uso das diferencias entre as interseções ID e DD (a mudança nos valores de equilíbrio ao mudar as condições) para decide qual domina.

O que significa a ordem de b e c?

Se b < c então a-b e c-d (mudanças de DD mantendo ID constante) são pequenas relativas a a-c e b-d (mudanças de ID mantendo DD constante).  A mudança no tamanho em equilíbrio da população sob os valores de mudanças de ID é pequena relativa a mudança do tamanho da população em equilíbrio para mudanças de DD.

DD domina.  {a a b} e {c a d} grandes.  Linhas descontinuas a-b, c-d (etc.),  Anotações de "efeito" proporcionam o contexto para o sentido de ordem de b e c para ser comparado com o próximo gráfico.

Examinamos duas técnicas para responder perguntas sobre t ID versus DD. Uma técnica será numérica, e a outra será gráfica.  Ambas compartilham várias características.

 Com os dados a seguir

N* é um dos quatro valores numéricos (eixo X) da interseção entre uma curva de DD e ID.  Os pontos não estão em ordem nenhuma, mas você decide e explique se DD ou ID dominará.

Como resolver o problema?  Nosso interesse é o efeito (sobre N* o crescimento bruto esperado por DD - ID).  Quais fatores afeita o efeito?  As curvas DD e ID.

Veredicto?  Os efeitos de ID (ambos > 100) são muito maiores do que os efeitos de DD (ambos < 75), então ID domina.

Técnica gráfica:

Explique no gráfico a seguir qual fator domina:

Pergunta: dado esse gráfico, determine se DD ou ID dominará, e explicar seu raciocínio. [Resposta no próximo gráfico]

Podemos resolver o problema mantendo as coisas constantes (ficando numa curva de DD ou uma linha de ID) e calculando diferencias entre os tamanhos em equilíbrio (a a b, a a c, etc.) sob condições diferentes – mas o raciocínio agora é gráfico.